Die geometrischen Kalküle von Pseudo-differenzial- und Fourier-Integraloperatoren beruhen
auf den symplektischen Eigenschaften des Kotangentialbündels. Um neue Kalküle zu
entwickeln, die an eine besondere Geometrie angepasst sind, ist es nötig, singulär-symplektische
Mannigfaltigkeiten zu betrachten. Diese müssen zuerst verstanden werden,
bevor man die zugehorigen Operatorkalküle konstruieren kann.
In dieser Dissertation geben wir neue Einblicke in die singulär-symplektischen Strukturen,
die aus asymptotisch-Euklidischen Mannigfaltigkeiten entstehen. Insbesondere
rechnen wir aus, wie die Poisson-Klammer auf SG-Pseudo-Differenzialoperatoren wirkt,
und definieren eine neue Klasse symplektischer Abbildungen, die an die geometrischen
Besonderheiten angepasst sind. Wir betrachten außerdem die ordnungserhaltenden Isomorphismen
der SG-Algebra und zeigen, dass unser Konzept von singulär-symplektischen
Abbildungen natürlich in diesem Zusammenhang auftaucht. Wir benutzen es, um diese
Isomorphismen als Konjugation mit einem SG-Fourier-Integraloperator zu charakterisieren.
The geometric theory of pseudo-differential and Fourier Integral Operators relies on the
symplectic structure of cotangent bundles. If one is to study calculi with some specific
feature adapted to a geometric situation, the corresponding notion of cotangent bundle
needs to be adapted as well and leads to spaces with a singular symplectic structure.
Analysing these singularities is a necessary step in order to construct the calculus itself.
In this thesis we provide some new insights into the symplectic structures arising
from asymptotically Euclidean manifolds. In particular, we study the action of the
Poisson bracket on SG-pseudo-differential operators and define a new class of singular
symplectomorphisms, taking into account the geometric picture. We then consider this
notion in the context of the characterisation of order-preserving isomorphisms of the
SG-algebra, and show that these are in fact given by conjugation with a Fourier Integral
Operator of SG-type.