Nicolai maps in supersymmetric Yang-Mills theories

Abstract

This dissertation presents new results for the Nicolai map formalism. Integrating out all the fermionic variables of any supersymmetric field theory, one obtains a non-local theory of the remaining bosonic fields. In 1979, Hermann Nicolai proved the existence of a nonlocal and nonlinear transformation of the bosonic fields, that enables the evaluation of quantum correlators using only a free, purely bosonic functional measure. They agree with the bosonic correlators of the original supersymmetric field theory and thus the formalism provides an entirely distinct understanding of supersymmetry. In this classical construction, a lot of information about quantum correlators is shifted to the construction of the Nicolai map. A central result of this work is a new universal formula for the Nicolai map in terms of a path-ordered exponential of the so-called coupling flow differential operator. From this, the map can be constructed perturbatively whenever supersymmetry is realized off-shell. Moreover, in gauge theories, this can be achieved in any gauge. A second recurrent theme is the broad ambiguity of the Nicolai map. Next to the known gauge dependence, there are at least two more ambiguities: An integration-path dependence for theories with multiple couplings and an R-symmetry ambiguity for theories with extended supersymmetry. Despite any ambiguities, correlators obtained by the Nicolai map formalism are always unique. This allows one to fine-tune the map for finding the most simple avenues towards physical observables. A particularly useful observation is that incorporating topological terms in the action can be interpreted as adding a special kind of coupling that provides significant simplifications in the formalism. In this thesis, starting with a general overview, we next study the Nicolai map in supersymmetric quantum mechanics, as it allows us to understand many properties in a relatively simple ‘toy’ model. We then move on to N = 1 supersymmetric Yang–Mills theories, predominantly in four space- time dimensions. Combining the Landau gauge with the fine-tuning of a topological term, we develop a much simpler Nicolai map expansion com- pared to previous constructions. Lastly, we turn to N = 4 supersymmetric Yang–Mills theory and develop a framework for its R-covariant coupling flow operator.

Diese Dissertation präsentiert neue Ergebnisse für den „Nicolai map“ Formalismus. Integriert man alle fermionischen Variablen einer beliebigen supersymmetrischen Feldtheorie aus, erhält man eine nichtlokale Theorie der verbleibenden bosonischen Felder. 1979 bewies Hermann Nicolai die Ex- istenz einer nichtlokalen und nichtlinearen Transformation der bosonischen Felder, die es ermöglicht, Quantenkorrelatoren nur mit einem freien, rein bosonischen Funktionsmaß zu berechnen. Sie stimmen mit den bosonischen Korrelatoren der ursprünglichen supersymmetrischen Feldtheorie überein und somit ermöglicht der Formalismus ein völlig anderes Verständnis der Supersymmetrie. In dieser klassischen Konstruktion werden viele Informa- tionen über Quantenkorrelatoren in die Konstruktion der Nicolai-Abbildung verlagert. Ein zentrales Ergebnis dieser Arbeit ist eine neue universelle Formel für die Nicolai-Abbildung in Form eines pfadgeordneten Exponentials des sogenannten „coupling flow“-Differentialoperators. Daraus kann die Ab- bildung störungstheoretisch konstruiert werden, wenn die Supersymmetrie „off-shell“ realisiert ist. Außerdem kann dies in Eichtheorien für beliebige Eichungen erreicht werden. Ein zweites wiederkehrendes Thema ist die weitgehende Mehrdeutigkeit der Nicolai-Abbildung. Neben der bekannten Eichabhängigkeit gibt es mindestens zwei weitere Mehrdeutigkeiten: Eine Integrationspfad- Abhängigkeit für Theorien mit mehr als einer Kopplung und eine R- Symmetrie-Ambiguität für Theorien mit erweiterter Supersymmetrie. Trotz dieser Mehrdeutigkeiten sind die Korrelatoren, die mit der Nicolai- Abbildung erhalten werden, immer eindeutig. Dies ermöglicht eine Feinabstimmung der Abbildung, um möglichst einfach, physikalische Observablen zu bestimmen. Eine besonders nützliche Beobachtung ist, dass die Einbeziehung topologischer Terme in die Wirkung als Hinzufügen einer speziellen Art von Kopplung interpretiert werden kann, die den Formalismus erheblich vereinfacht. In dieser Arbeit untersuchen wir, beginnend mit einem allgemeinen Überblick, als Nächstes die Nicolai-Abbildung in der supersymmetrischen Quantenmechanik, da sie uns erlaubt, viele Eigenschaften in einem relativ einfachen „Spielzeug“-Modell zu verstehen. Anschließend befassen wir uns mit N = 1 supersymmetrischen Yang–Mills-Theorien, vorwiegend in vier Raumzeitdimensionen. Durch die Kombination der Landau-Eichung mit der Feinabstimmung eines topologischen Terms entwickeln wir eine im Vergleich zu früheren Konstruktionen wesentlich einfachere Entwicklung der Nicolai-Abbildung. Schließlich wenden wir uns der N = 4 supersym- metrischen Yang–Mills-Theorie zu und entwickeln ein Verständnis für ihren R-kovarianten Kopplungsflussoperator.