Singular K3 surfaces with class number 4 and fundamental discriminant

Abstract

In dieser Arbeit klassifizieren wir bestimmte (Klassen von) singulären K3 Flächen. Das Shioda-Inose-Theorem stellt eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen der Menge der Isomorphismen von singulären K3 Flächen über $\mathbb{C}$ und den Isomorphieklassen von positiv definiten, orientierten Gittern vom Rang 2 her. Deshalb wissen wir, dass jede singuläre K3 Fläche über einem Zahlkörper definiert werden kann. Daher stellt sich die natürliche Frage, welche singulären K3 Flächen über den rationalen Zahlen definiert werden können. Es ist bereits bekannt, dass singuläre K3 Flächen mit Klassenzahl 1 und 2 ein rationales Modell haben. Wir beweisen, dass singuläre K3 Flächen mit fundamentaler Diskriminante $|d| \leq 408$ und Klassenzahl $h(d) = 4$ ebenfalls ein rationales Modell haben.Um dies zu zeigen, finden wir ein Weierstraß-Modell über $\mathbb{Q}$ für jede der vier möglichen singulären K3-Flächen mit Fundamentaldiskriminante $d$ haben. Um dies zu erreichen, untersuchen wir die Obstruktionen des zugrundeliegenden Körpers von singulären K3 Flächen, indem wir die Theorie der Gitter und Mordell-Weil-Gitter sowie der elliptischen Fibrationen und der Klassengruppentheorie verwenden. Darüber hinaus werden wir eine wichtige Technik über endlichen Körpern verwenden, indem wir die Modulitheorie der komplexen K3 Flächen verwenden, um Spezialisierungen über $\mathbb{Q}$ von Familien von K3-Flächen $X_\lambda$ mit $\rho(X_\lambda) \geq 19$ zu erhalten. Des Weiteren verwenden wir die $p$-adische Mehrvariablen-Newton-Iteration, um algebraische Gleichungen über $\mathbb{Q}$ simultan zu lösen