Integral points of bounded height via universal torsors

Abstract

A conjecture of Manin’s relates the number of rational points of bounded height on Fano varieties with their geometric properties. Analogously to this conjecture on rational points, we study the distribution of integral points of bounded height on three varieties: on a smooth Fano threefold of Picard number 2 and type 30 in the Mori–Mukai classification, on a quartic del Pezzo surface with an A1- and an A3-singularity, and on a toric threefold. We determine asymptotic formulas and interpret the leading term geometrically. For the proofs, we parametrize integral points using universal torsors, and use analytic techniques to count integral points on the torsor. This seems to be the first application of the torsor method to integral points. The asymptotic formula for our toric variety contradicts a result by Chambert-Loir and Tschinkel. We describe an obstruction that explains this contradiction, and study its relation with some constants that appear in asymptotic formulas for the number of integral points of bounded height.

Eine Vermutung von Manin stellt einen Bezug zwischen der Anzahl rationaler Punkte beschränkter Höhe auf Fano-Varietäten und geometrischen Eigenschaften her. Analog zu dieser Vermutung für rationale Punkte untersuchen wir die Verteilung ganzer Punkte beschränkter Höhe auf drei Varietäten: auf einer glatten dreidimensionalen Fano-Varietät von Picardrang 2 und Typ 30 in der Mori– Mukai-Klassifikation, auf einer quartischen del-Pezzo-Fläche mit A1- und A3- Singularität und auf einer dreidimensionalen torischen Varietät. Wir bestimmen asymptotische Formeln und interpretieren den führenden Term geometrisch. In den Beweisen parametrisieren wir die ganzen Punkte mit Hilfe universeller Torsore, und zählen ganze Punkte auf den universellen Torsoren mit analytischen Methoden. Dies scheint die erste Anwendung der Torsor-Methode zum Zählen ganzer Punkte zu sein. Die asymptotische Formel für die torische Varietät steht im Widerspruch zu einem Ergebnis von Chambert-Loir und Tschinkel. Wir beschreiben eine Obstruktion, die diesen Widerspruch erklärt und untersuchen ihren Zusammenhang mit einigen Konstanten, die ein Bestandteil asymptotischer Formeln für die Anzahl ganzer Punkte beschränkter Höhe sind.