Numerische Modellierung von Modenverwirbelungskammern mittels Spektralansatz, Greenscher Funktion des quaderförmigen Hohlraums und Momentenmethode

Abstract

Die numerische Modellierung von Modenverwirbelungskammern ist anspruchsvoll. Modenverwirbelungskammern sind elektrisch große und resonante Strukturen. Die elektrische Größe führt zu einer großen Anzahl an Unbekannten. Die Resonanzen verschlechtern die Konvergenz und die Genauigkeit von iterativen Lösern. Ein vielversprechender Ansatz zur numerischen Modellierung von Modenverwirbelungskammern ist Hohlraum Greensche Funktion Momentenmethode. Im Gegensatz zur normalen Momentenmethode wird anstelle der Greenschen Funktion des freien Raumes, direkt die Greensche Funktion des quaderförmigen Hohlraums als Integralkern benutzt. Je nachdem welches Problem betrachtet wird, verringert sich die Anzahl der Unbekannten um mehrere Größenordnungen, da die Wände der Kammer nicht diskretisiert werden müssen. Allerdings besitzt die Hohlraum Greensche Funktion Momentenmethode in ihrer ursprünglichen Ausprägung auch zwei Nachteile. Einerseits steigt die Komplexität des Verfahrens aufgrund der dicht besetzten Systemmatrix quadratisch mit der Anzahl der Unbekannten. Andererseits ist die Auswertung der Green Funktion bei hohen Frequenzen aufwendig. Aus diesen Gründen wurde die Hohlraum Greensche Funktion Momentenmethode bisher meistens nur zur Modellierung von Modenverwirbelungskammern, die kleine eindimensionale Objekte enthalten, eingesetzt [1] [2] [3] [4] [5]. In [6] wird der erste Nachteil der Hohlraum Green Funktion Methode adressiert. Die Auswertung der Koppelintegrale wird mit Hilfe eines schnellen Spektralbereichsansatzes beschleunigt. Anstatt die Koppelintegrale wie üblich im Ortbereich auszuwerten, werden Sie in den Spektralbereich transformiert. Im Spektralbereich zerfallen die verschachtelten Integrale über Quellund Testbereich, in zwei nicht verschachtelte Integrale, eines über den Quellund eines über den Testbereich. Werden die Integrale vorab berechnet und gespeichert, ist die Integration über Quellund Testbereich zur Auswertung der Koppelintegrale nicht mehr nötig und die Rechenzeit verringert sich um mehrere Größenordnungen. Der zweite Nachteil der Hohlraum Green Funktion Methode, die aufwendige Auswertung der Greenschen Funktion bei hohen Frequenzen, wird in [7] adressiert. In [6] wird die Greensche Funktion mit Hilfe der Ewald Methode [8] ausgewertet. Die Ewald Summe konvergiert exponentiell allerdings ist die Anzahl der Terme nur bei niedrigen Frequenzen konstant. Bei höheren Frequenzen wächst die Anzahl der Terme kubisch mit der Frequenz. Alternativ kann die Greensche Funktion des quaderförmigen Hohlraums durch eine zweidimensionale (2D) Spektralreihe dargestellt werden [9]. Die Anzahl der Terme in der 2D Spektraldarstellung wächst nur quadratisch mit der Frequenz und konvergiert ebenfalls exponentiell, allerdings hängt die Konvergenzrate von der relativen Position von Quellund Beobachtungspunkt ab. Je näher Quellund Beobachtungspunkt beieinander liegen, desto langsamer konvergiert die Reihe. Um die Vorteile beider Darstellungen zu vereinen, wurde eine hybride Ewald 2D Spektral Darstellung vorgeschlagen [7]. Das Simulationsgebiet wird in Gruppen unterteilt. Wenn der Beobachtungspunkt in der Quellgruppe oder in einer benachbarten Gruppe liegt, wird die Ewald Summe verwendet, andernfalls wird eine der 2D Spektralreihen benutzt, um die Greensche Funktion zu berechnen. Die hybride Darstellung reduziert die Komplexität der Greenschen Funktion bzgl. der Frequenz von kubisch auf quadratisch. Um die Auswertung der Koppelintegrale zu beschleunigen wird der schnelle Spektralbereichsansatz aus [6] zu einem schnellen Gruppen Spektralbereichsansatz erweitert, dessen Funktionsweise ähnlich derer der schnellen Multipolmethode ist [7]. Die in [6], [7] vorgestellten Methoden sind auf die Modellierung ideal elektrisch leitender Objekte beschränkt. Um elektrisch gut leidende oder dielektrische Objekte zu betrachten, müssen neben elektrischen Strömen auch magnetische Ströme behandelt werden können. Dies erfordert die Erweiterung der Greenschen Funktion und des Spektralbereichsansatzes auf magnetische Ströme. In [1O] wird der schnelle Spektralbereichsansatz auf magnetische Ströme angewandt. In dieser Arbeit wird der schnelle Gruppen Spektralbereichsansatz für magnetische Ströme vorgestellt. Die 2D Spektraldarstellung der Greenschen Funktion für magnetische Ströme wird hergeleitet und der schnelle Gruppen Spektralbereichsansatz wird auf magnetische Ströme erweitert. Numerische Ergebnisse zeigen den Vorteil des schnellen Gruppen Spektralbereichsansatzes gegenüber dem schnellen Spektralbereichsansatz und einer gewöhnlichen Momentenmethode, die mit der mehrstufigen schnellen Multipolmethode beschleunigt wird [11].