Stochastic modelling and numerical simulation of fatigue damage

Abstract

In continuum damage mechanics, fatigue is a phenomenon associated with a continuous material stiffness reduction. Numerically, it can be simulated as an accumulation of damage process. Since the resistance of concrete material reduces drastically after the initiation of macroscopic cracks, fatigue life can be approximated using damage models as the number of cycles by which the material continuity vanishes. The fatigue scatter is an interpretation of material heterogeneity and uncertain external influences. It can be reproduced by treating the damage evolution as a stochastic process.

Inspired by the application of the stochastic process in molecular physics, the deterministic damage evolution rate of the Lemaitre model is modified as a stochastic differential equation to characterise the random damage increment. The implicit Euler scheme associated with Monte-Carlo simulation is demonstrated as a practical approach to solve the stochastic integration problem. The stochastic damage model is designed carefully to obey the thermodynamic principles and the deterministic damage law. Particular efforts are addressed to determine suitable random distributions, avoiding negative random damage increments in individual realisations, to have a statistically unbiased mean. To adequately approximate the high-cycle fatigue damage with random noise, the "jumping-cycle" algorithms with different extrapolation strategies are investigated.

This damage model is further implemented in the simulation of four-point flexural fatigue of concrete beam, solved by the finite element method. The numerically reproduced fatigue data closely fit the published experimental results and the empirical solution, both in the mean and standard deviation. Compared to the Gaussian white noise, the Weibull random variable has broad applicability to simulate random fatigue damage and other physical processes.

Um die Streuung der Messdaten in der Materialermüdung zu beschreiben, wird basierend auf Zufallsprozessen ein phenomenologische Modellierung vorgestellt. Erprobt wird die Modellierung an einem Betonbalken mit ebener Finite Element Diskretisierung, wobei die stochastischen Ermüdungsgleichungen mit der Monte Carlo Methode gelöst werden. Die simulierten Ermüdungsprozesse unter Biegebeanspruchung des quasi-spröden Materialswerden mit experimentellen Daten und etablierten empirischen Gleichungen vergleichen. Um hochzyklische Beanspruchungen zu behandeln, wird ein „jumping-cycle“ Algorithmus angewendet, mit dem die Rechenzeiten stark reduziert werden. Dieser Modellansatz ermöglicht die Simulation von Ermüdungsprozessen mit probabilistischen Information in einem sehr langen Zeitintervall. In derKontinuums-Modellierung geht der Prozess der Materialermüdung mit einer Degeneration der materiellen Integrität einher, die sich z.B. in der Abnahme des elastischen Moduls niederschlägt. Numerisch wird dies als ein kumulativer Schädigungsprozess modelliert. Weil der Materialwiderstand von Beton nach der Entstehung makroskopischer Risse drastisch abnimmt, kann die Ermüdungslebensdauer unter zyklischer Beanspruchung durch ein Schädigungsmodell praktisch sehr gut abgeschätzt werden, sobald das Auftreten makroskopischer Risse prognostiziert wird. Die Streuung in experimentell ermittelten Ermüdungskurven kann durch die mikro-Heterogenität der Materialien und Unsicherheiten in weiteren externen Faktoren verstanden werden, mittels einer Modellierung der Schädigungsentwicklung als stochastische Prozessgleichungen kann diese gut reproduziert werden. In Anlehnung an die Beschreibung stochastischer Prozesse in der theoretischen Physik werden die volutionsgleichungen für die Schädigungsentwicklung des Lemaitre-Modells als stochastische Differentialgleichungen dargestellt. Diese werden mittels impliziter Euler-Verfahren und Monte-Carlo Methoden effizient gelöst. Um die thermodynamische Konsistenz sicherzustellen, insbesondere negative Inkremente der Schädigungsentwicklung zu vermeiden, und unverzerrte statistische Mittel-werte zu erhalten, werden klassische Gaußsche Prozesse durch Weibull-Verteilungen substituiert. Für hochzyklische Belastungen werden „jumping-cycle“ Algorithmen hinsichtlich der Extrapolations-strategien systematisch untersucht. Am Beispiel eines Betonträgers unter Biegebeanspruchung wird das Ermüdungsverhalten simuliert und mit experimentellen Ergebnissen aus der Literatur und empirischen Formeln vergleichen. Der vorgeschlagene Modellierungsansatz zeigt eine gute Übereinstimmung der Mittelwerte und Standardabweichungen mit den publizierten Erkenntnissen. Wenngleich die hier verwendeteWeibull-Statistik im strengen mathematischen Sinne nicht konsistent sein sollte, hat sich diese jedoch als physikalisch konsistent erwiesen, um streuende Ermüdungsschädigung effizient zu beschreiben.