Solutions of Yang–Mills theory in four-dimensional de Sitter space

Abstract

Diese Doktorarbeit befasst sich mit der Analyse einiger Yang-Mills-Lösungen auf vier dimensionalen de Sitter Raum. Die konforme Äquivalenz dieses Raums mit einem endlichen Lorentz-Zylinder über der 3-Sphäre und auch mit Teilen des Minkowski-Raums – zusammen mit der Tatsache, dass die Yang-Mills-Theorie in der 4-dimensionalen Raumzeit konform invariant ist – hat kürzlich zur Entdeckung einer Familie rational verknoteter elektromagnetischer Feldkonfigurationen geführt. Diese „Basisknoten“-Lösungen der Maxwell-Gleichungen, auch bekannt als Abelsche Yang-Mills-Theorie, sind mit den hypersphärischen Harmonischen auf der 3-Sphäre gekennzeichnet und haben nette Eigenschaften wie endliche Energie, endliche Wirkung und das Vorhandensein einer konservierten topologischen Größe namens Helizität. Ihre Feldlinien bilden geschlossene Knotenschleifen im dreidimensionalen Euklidischen Raum. Diese könnten in der Kosmologie des frühen Universums eine Rolle spielen, um das symmetrische Higgs-Vakuum zu stabilisieren.

Wir untersuchen Symmetrieaspekte dieser elektromagnetischen Knotenkonfigurationen und berechnen alle erhaltenen Ladungen für die konforme Gruppe SO(2,4) im Zusammenhang mit dem 4-dimensionalen Minkowski-Raum für eine komplexe Linearkombination dieser Basislösungen. Die Berücksichtigung einer solchen komplexen linearen Kombination ist wichtig, da diese rationalen Basislösungen verwendet werden können, um auf diese Weise jede endliche Energiefeldkonfiguration zu erzeugen; wir demonstrieren diese Tatsache mit einigen bekannten Ergebnissen für bestimmte modifizierte Hopf–Ranãda-Knoten. Wir finden, dass die skalaren Ladungen entweder verschwinden oder proportional zur Energie sind. Für die nicht verschwindenden Vektorladungen finden wir eine schöne geometrische Struktur, die auch die Berechnung ihrer sphärischen Komponenten erleichtert. Wir finden auch, dass die Helizität mit der Energie zusammenhängt. Darüber hinaus charakterisieren wir den Unterraum von Nullfeldern und präsentieren einen Ausdruck für den elektromagnetischen Fluss bei null unendlich, der mit der Gesamtenergie übereinstimmt, wodurch die Energieerhaltung validiert wird. Schließlich untersuchen wir die Trajektorien von Punktladungen im Hintergrund solcher Basisknotenkonfigurationen. Dazu finden wir je nach Feldkonfiguration und verwendetem Parametersatz unterschiedliche Verhaltensweisen. Dazu gehören eine Beschleunigung von Teilchen durch das elektromagnetische Feld aus dem Ruhezustand auf ultrarelativistische Geschwindigkeiten, eine schnelle Konvergenz ihrer Flugbahnen in wenige schmale Kegel, asymptotisch für einen ausreichend hohen Wert der Kopplung, und ein ausgeprägtes Verdrehen und Wenden der Bahnen in kohärenter Weise.

Wir analysieren die lineare Stabilität der „kosmischen Yang-Mills-Felder“ der SU(2) gegenüber allgemeinen Eichfeldstörungen, während wir die Metrik eingefroren halten, indem wir den (zeitabhängigen) Yang-Mills-Fluktuationsoperator um sie herum diagonalisieren und die Floquet-Theorie auf ihre Eigenfrequenzen und normale Modi anwenden. Mit Ausnahme der exakt lösbaren SO(4)-Singulett-Perturbation, die linear marginal stabil, aber nichtlinear begrenzt ist, wachsen generische Normalmoden aufgrund von Resonanzeffekten häufig exponentiell an. Selbst bei sehr hohen Energien werden alle kosmischen Yang-Mills-Hintergründe linear instabil gemacht.