Nichtstandard in der elementaren Analysis – Mathematische, logische, philosophische und didaktische Studien zur Bedeutung der Nichtstandardanalysis in der Lehre

Abstract

Die heutige Analysis ist aus der Infinitesimalrechnung von Leibniz und Newton hervorgegangen. Zwei Jahrhunderte lang gehörten Infinitesimalien, also unendlich kleine Größen, zum Handwerkszeug der Mathematiker und bescherten der neu entstandenen Disziplin einen außerordentlichen Aufschwung, bevor sie durch den Weierstraß'schen Grenzwertbegriff und die Konstruktion der reellen Zahlen durch Cantor und Dedekind entbehrlich schienen und schließlich aus der Analysis verbannt wurden. Der Preis für diese Finitisierung und Arithmetisierung der Analysis waren die Akzeptanz des aktual Unendlichen in Gestalt transfiniter Mengen sowie ein sperriger, wenig intuitiver Grenzwertformalismus, der Lernenden an Schulen und Hochschulen bis heute Schwierigkeiten bereitet.

Mit Robinsons Non-standard Analysis hielten die Infinitesimalien in den 1960er Jahren – jetzt streng modelltheoretisch begründet – wieder Einzug in die Mathematik. In der Folge wurde Nichtstandardanalysis auf verschiedenen Gebieten innerhalb und außerhalb der Mathematik erfolgreich eingesetzt. Keisler erkannte das didaktische Potential von Robinsons Arbeit und entwarf in den 1970er Jahren eine axiomatische Einführung in die Analysis mit hyperreellen Zahlen ohne die modelltheoretischen Voraussetzungen. Seitdem gab es und gibt es bis heute Projekte mit dem Ziel, Nichtstandardanalysis für die Lehre zu nutzen. Trotz positiver Erfahrungen aus diesen Projekten blieb der Einfluss auf die Lehre insgesamt sehr gering. An den Hochschulen wird Analysis fast ausnahmslos rein auf der Grundlage des Weierstraß'schen Grenzwertbegriffs gelehrt, wobei die reellen Zahlen axiomatisch eingeführt werden. In der Schule zieht man sich zunehmend auf einen propädeutischen Grenzwertbegriff zurück.

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist eine Standortbestimmung von Nichtstandard in der Analysis, speziell in der Lehre der Analysis – in mathematischer, logischer, philosophischer und stoffdidaktischer Hinsicht. Insbesondere soll untersucht werden, inwieweit sich unter diesen Aspekten Gründe für die zurückhaltende Aufnahme von Elementen der Nichtstandardanalysis in die Lehre ableiten lassen. Zu diesem Zweck werden zunächst verschiedene Zugänge zur Nichtstandardanalysis, ihre Adaptionen für elementare Einführungen sowie Erfahrungen aus der Lehre überblickend vorgestellt. Dieser Überblick ermöglicht es herauszuarbeiten, inwieweit gewohnte Sichtweisen (zum Beispiel auf die Mengenlehre, das Unendliche, die reellen und die natürlichen Zahlen oder das Kontinuum) durch Nichtstandard herausgefordert werden, welche Voraussetzungen Nichtstandard mathematisch benötigt und in welcher Weise und mit welchem Effekt Nichtstandardmethoden in der elementaren Analysis eingesetzt werden können.

Um mögliche mathematische Probleme aufzudecken, die Vorbehalte gegenüber Nichtstandard begründen können, werden logische, modelltheoretische und mengentheoretische Untersuchungen diskutiert. Zur Analyse einer aus philosophischer Haltung heraus begründeten Ablehnung von Nichtstandard werden verschiedene Grundlagenpositionen sowie ontologische, epistemologische und anwendungsbezogene Fragen behandelt.

Ein empirischer Teil dient als Beleg für einen aktuellen Meinungsquerschnitt, wie Nichtstandardanalysis von den Lehrenden der Analysis wahrgenommen und als Lehrstoff eingeschätzt wird. Quelle ist eine im Rahmen des Dissertationsprojektes per E-Mail durchgeführte und mittels einer qualitativen Inhaltsanalyse ausgewertete Befragung von Analysislehrenden an deutschen Hochschulen. Die Auswertung ist Ausgangspunkt für die Diskussion mathematischer und didaktischer Vorbehalte gegen den Einsatz von Nichtstandardanalysis in der Lehre. Im Vordergrund steht also die Frage nach der Rechtfertigung von Nichtstandardanalysis als Lehrstoff. Untersuchungen zu weitergehenden Fragestellungen und Aspekten der Auswertung, die man anschließen könnte, etwa hinsichtlich der Prozesse zur Festlegung dessen, was an Schule oder Hochschule gelehrt werden sollte, werden hier nicht weiterverfolgt.

Today's analysis emerged from the infinitesimal calculus of Leibniz and Newton. For two centuries, infinitesimals, i.e. infinitely small quantities, belonged to the tools of the mathematicians and gave the newly developed discipline an extraordinary upswing, before they seemed dispensable and were finally banished from analysis due to the Weierstrassian concept of limit and the construction of the real numbers by Cantor and Dedekind. The price for this finitization and arithmetization of analysis was the acceptance of the actual infinite in the form of transfinite sets as well as a bulky, not very intuitive formalism of limits, which causes difficulties for learners at schools and universities to this day.

With Robinson's Non-standard Analysis, the infinitesimals found their way back into mathematics in the 1960s – now strictly based on model theory. In the following years, non-standard analysis was used successfully in various areas inside and outside of mathematics. Keisler recognized the didactic potential of Robinson's work and in the 1970s designed an axiomatic introduction to analysis with hyperreal numbers without the model-theoretical prerequisites. Since then there have been, and still are, projects aimed at using non-standard analysis for teaching. Despite positive experiences from these projects, the overall impact on teaching remained very small. At universities, calculus is taught almost without exception purely on the basis of Weierstrass's concept of limit, with the real numbers being introduced axiomatically. In school, one increasingly retreats to a propaedeutic notion of limit.

The aim of the present dissertation is to determine the position of the "non-standard" in analysis, especially in the teaching of analysis – in mathematical, logical and philosophical terms and in terms of subject specific didactics. In particular, we shall examine to what extent reasons for the reluctant inclusion of elements of non-standard analysis in teaching can be derived from these aspects. To this end, different approaches to non-standard analysis, their adaptations for elementary introductions and experiences from teaching are presented in an overview. This overview makes it possible to work out to what extent customary perspectives (for example on set theory, the infinite, the real and the natural numbers or the continuum) are challenged by non-standard analysis, which prerequisites non-standard analysis requires mathematically and in what way and with what effect non-standard methods can be used in the elementary analysis.

In order to uncover possible mathematical problems that may account for reservations about non-standard analysis, we discuss logical, model-theoretical and set-theoretical investigations. To analyze a rejection of non-standard analysis based on a philosophical attitude, we deal with various foundational positions as well as ontological, epistemological and application-related questions.

An empirical part serves as evidence for a current cross-section of opinions on how non-standard analysis is perceived by calculus instructors and assessed as a subject matter of teaching. The source is a survey of calculus instructors at German universities carried out by email as part of the dissertation project and evaluated using a qualitative content analysis. The evaluation is the starting point for the discussion of mathematical and didactic reservations against the use of non-standard analysis in teaching. In the foreground is the question of the justification of non-standard analysis as a subject matter of teaching. Studies on further questions and aspects of the evaluation that could follow, for example with regard to the processes for determining what should be taught at school or university, are not pursued further here.