Equivariant indices of vector fields and 1-forms on varieties

Abstract

Given a $G$-invariant holomorphic 1-form with an isolated singular point on a germ of a complex analytic $G$-variety with an isolated singular point, its equivariant homological index and (reduced) equivariant radial index are defined as elements of the ring of complex representations of the finite group $G$. We show that these indices coincide on a germ of a smooth complex analytic $G$-variety. This makes it possible to consider the difference between them as a version of the equivariant Milnor number of a germ of a $G$-variety with an isolated singular point. For cyclic groups of order two and three we additionally describe another approach to prove the coincidence. This gives us a classification of singular points which cannot be excluded by deformations of 1-forms invariant with respect to an action of a cyclic group of order 3.

Zu einer gegebenen $G$-invarianten, holomorphen 1-Form auf dem Keim einer komplex-analytischen $G$-Varietät, die einen isolierten singulären Punkt aufweist, lassen sich der äquivariante homologische und der (reduzierte) äquivariante radiale Index als Elemente im Ring der komplexen Darstellungen der (endlichen) Gruppe $G$ definieren. Wir zeigen, dass diese Indizes auf einer glatten, komplex-analytischen $G$-Varietät übereinstimmen. Das ermöglicht uns, die Differenz zwischen diesen beiden Indizes als eine Version der äquivarianten Milnorzahl eines Keims einer $G$-Varietät mit isoliertem singulären Punkt zu betrachten. Für zyklische Gruppen der Ordnung zwei und drei geben wir außerdem einen alternativen Ansatz, um die Gleichheit der beiden Indizes zu zeigen. Dieser Ansatz liefert uns dann eine Klassifikation singulärer Punkte, die man nicht ausschließen kann, indem man Deformationen von 1-Formen, die invariant bezüglich der Wirkung einer zyklischen Gruppe der Ordnung 3 sind, betrachtet.