Asymptotics for subcritical fully nonlinear equations with isolated singularities

Abstract

In dieser Dissertation betrachten wir die Gleichung $$\sigma_k(A^u) = u^{\left(p-\frac{n+2}{n-2}\right)k}, wobei $n\ge 3$ und $ p \in \left(\frac n{n-2} , \frac{n+2}{n-2}\right). Dabei ist $\sigma_k$ das $k$-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von $A^u$ und $$A^u = -\frac2{n-2} u^{-\frac{n+2}{n-2}}D^2u + \frac{2n}{(n-2)^2} u^{-\frac{2n} n-2}} \nabla u \otimes \nabla u - \frac2{(n-2)^2}u^{-\frac{2n}{n-2}}|\nabla u|^2 I,$$ wobei $\nabla u$ den Gradienten von $u$ und $D^2u$ die Hessesche Matrix bezeichnen. Diese Gleichung ergibt sich in natürlicher Weise aus dem $\sigma_k$-Yamabe-Problem. Für $k=1$ erhalten wir $$-\Delta u =u^p;$$ dies ist einfach eine klassische subkritische semilinear-elliptische Gleichung. Für $1\le k<\frac n2$ zeigen wir, dass eine zulässige Lösung dieser Gleichung mit nicht-hebbarer isolierter Singularität asymptotisch gleich einer radialen Lösung ist. Mit Hilfe einer genauen Analyse der linearisierten Gleichung sind wir dann in der Lage, asymptotische Entwicklungen höherer Ordnung für die Lösungen zu zeigen. Diese Resultate verallgemeinern die früheren bahnbrechenden Arbeiten von Caffarelli, Gidas und Spruck. Als Beiprodukt erhalten wir Schoens Harnack-Ungleichung in Euklidischen Kugeln, das asymptotische Verhalten ganzer Lösungen. Basierend auf dem asymptotischen Verhalten erhalten wir einen weiteren Beweis des Liouville-Satz von Li und Li.