Quantum walks are discrete-time evolutions of single particles on lattices that transfer the concept of classical random walks to quantum theory. Topological insulators are objects that promise symmetry-protected edge-states for transportation along the edge. Together, both subjects lay the foundation to a description of new materials that may be used e.g. for quantum computation or transport. In this thesis, we study topological phases in quantum walks. Given a representation of the discrete symmetry groups of the tenfold way, we develop a topological classification which distinguishes three symmetry indices whose values lie in the group of integers, the group of two elements, or the trivial group, depending on the symmetry type under consideration. The classification is applicable to quantum walks that are gapped at the symmetry-protected points. All symmetry indices are proven to be stable under norm-continuous perturbations, but only two of the three indices are invariant under compact non-continuous perturbations. These two indices describe the asymptotic behaviour far to the left and far to the right, respectively. The third index reflects whether a compact perturbation can be performed in arbitrarily small steps without violating the symmetries. Given two walks in the same phase (i.e. the symmetry indices coincide), we show that there is a norm-continuous path of walks in that phase that connects them. This renders the set of invariants we introduced complete. Our theory covers translation invariant bulks as well, where we prove that the third index vanishes and the left- and right indices add up to zero. Hence these systems are fully classified by the right index alone. Joining two bulks in different phases (one left, one right), we show that eigenvalues emerge in the gap (bulk-boundary correspondence), whose eigenfunctions decay exponentially away from the boundary. Since our theory does not demand translation invariance at all, these composed systems are still described by our general classification. Restricting to the translation invariant case, we express the symmetry index as a winding number of a loop in momentum space. Within this restricted class, we prove that our classification is complete as well.
Quantenwalks sind diskrete Zeitentwicklungen von Einteilchen-Gittersystemen, die Konzepte klassischer Random Walks in die Quantentheorie übertragen. Topologische Isolatoren versprechen Randzustände für Transport an Grenzflächen, die topologisch geschützt sind. Zusammengenommen bilden beide Themengebiete die Grundlage für eine Beschreibung vollkommen neuartiger Materialien, die z.B. für Quantum Computation oder elektrischen Transport genutzt werden könnten. Diese Arbeit behandelt topologische Phasen in Quantenwalks. Mithilfe dreier Symmetrieindizes entwickeln wir eine Klassifikation topologischer Quantenwalks, deren Werte je nach Darstellung der Symmetriegruppe des Tenfold Way in der Gruppe der ganzen Zahlen, der Gruppe mit zwei Elementen oder der trivialen Gruppe liegen. Die Klassifikation lässt sich auf Quantenwalks mit spektraler Lücke um die topologisch geschützten Punkte anwenden. Die Robustheit gegenüber normstetigen Störungen wird für alle Symmetrieindizes gezeigt, doch nur zwei der drei Indizes sind invariant unter kompakten nichtstetigen Störungen. Diese zwei Indizes beschreiben jeweils das asymptotische Verhalten weit links und weit rechts. Der dritte Index zeigt an ob eine kompakte Störung in beliebig kleine Schritte zerlegt werden kann ohne die Symmetrien zu verletzen. Wir zeigen, dass zwei Quantenwalks in der gleichen topologischen Phase normstetig innerhalb der Menge der Quantenwalks dieser Phase verbunden werden können. Dies beweist die Vollständigkeit der Indizes. Für translationsinvariante Quantenwalks gelingt es zu zeigen, dass der dritte Index verschwindet, und sich die links und rechtsseitigen Indizes zu 0 addieren. Daher werden diese Systeme vom rechten Index allein bereits vollständig bestimmt. Wir beweisen die Volumen-Rand-Korrespondenz, welche exponentiell abfallende Eigenzustände mit Eigenwerten in der Lücke vorhersagt, wenn man Systeme in unterschiedlichen Phasen kombiniert. Diese Systeme werden ebenfalls von unserer Klassifikation beschrieben. Ferner gelingt es im translationsinvarianten Fall den Symmetrieindex als Windungszahl über der Brillouin-Zone darzustellen. Außerdem beweisen wir die Vollständigkeit des Index in diesem Fall.